ps:（上一道题的题目稍微改了一下，改成了一道krylov空间矩阵的问题，这样主角可以开挂用随机矩阵的方式解出，但如果是稀疏线性方程组的求解问题，以目前主角的知识储备想要令两位大佬刮目相看，恐怕有些违和感。



所以为了使这个逼装的圆润一些，还是改了题目，见谅）



以下是正文部分：



“设g是nx8的实矩阵，其每个元素均独立地以o(m)/n的概率满足标准正态分布，以1o(m)/n的概率取零，我们想要证明krylov空间矩阵k:=[giagiagi......ia^(m-1）g]的条件数在高概率下有exp(o(m))的上界。”



看着这道题目，萧然眉头不自觉的皱了起来，krylov空间矩阵是一个非典型的随机矩阵，条件数是最大奇异值和最小奇异值的比例。



最大奇异值是矩阵的一种范数，可以理解为问题的数据规模，而最小奇异值可以理解为这个矩阵非退化的程度，所以这可以理解为矩阵退化的相对程度。



在这道题中，最大奇异值不难估计，难点是怎么去估计这个随机矩阵的最小奇异值。



挠了挠头，萧然逐渐被这道题吸引了全部的心神。



......



“老陆，你不是说你在家里说一不二吗？怎么嫂子一过来你就跟老鼠见了猫一样？”等到师母走远，老刘才瞥了老陆一眼，语气中充满了鄙视。



老陆闻言缓缓地吐出一口气，面色凝重：“我在家里确实是只敢说一句话，不敢再说第二句，说一不二，有什么问题吗。”



老刘：......



“不是我说啊，你这好歹是一家之主，有时候该硬气的时候还是要硬气点！”老刘恨铁不成钢地拍了拍老陆的肩膀，给他传授经验。



你又比我好到哪里去？



老陆斜着看了他一眼，慢悠悠地说道：“哦，是吗？那改天我去你家里和苏梅妹子聊一下，问问她你是如何硬气的。”



老刘放在老陆肩膀上的手突然一顿，随后若无其事地收了回来：“.......咦？萧然在看什么呢，这么入迷，半天了都不说话？”



说着埋头自顾自地朝萧然那边走去，好似那边有什么吸引他的地方。



此时的萧然已经完全入神了，草稿纸上全都是他潦草混乱的公式和想法，一时间连老刘什么时候来到他的身旁都没发现。



“咦！”



走到萧然身旁，看清他在写什么的老刘顿时扬了扬眉毛，惊咦一声，“这是在研究我和老陆争论的krylov空间矩阵问题？”



摩挲了一下下巴，他再次诧异地看了眼埋头书写的萧然，又低头看了眼他写出来的各种行列式，“老陆，过来！”



老刘头也不抬地对着不远处的老陆招了招手。



“怎么了？”老陆走了过来，摸不着头脑。



“小声点，你学生正在研究我们刚才讨论的那道题。”



“我看看。”老陆闻言连忙探过头看了一眼，“嗯，还真是，这孩子倒真是对数学爱的纯粹，来我家里也不忘钻研数学。”



语气间对萧然一万個满意。



“还真让你捡到宝了。”老刘酸溜溜地说道，神色间说出去的羡慕。



老陆得意地摆了摆手，故作矜持道：“以我的水平估计也只能再教他两三年的时间，到那时他想要在数学上取得突破，就要靠他自己的造化了。”



“行了行了，装给谁看呢！”老刘笑骂一声，接着又低下头看了眼萧然的草稿，若有所思：“你觉得萧然能不能解出这道题？”



老陆闻言也仔细看了眼萧然列出的各种行列式，皱了皱眉头：“这道题有点怪，它的元素满足的是稀疏高斯分布，而要证明结果要满足的却是高斯分布，这意味着我们需要一个工具建立这两者之间的联系......”



“可这个工具到底该用什么，说实话，我也只有一些粗浅的想法，我想的是使用markov不等式估计概率，这主要是利用到联合高斯分布的性质是服从联合